Question

19．如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，下面結論：
①DB=$\sqrt{2}$BE；②∠BAD=∠BHE；③AB=BH；④$\frac{A{C}^{2}+B{D}^{2}}{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=2
其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據(jù)勾股定理和題目中的信息可以說明結論是否成立；
②根據(jù)平行四邊形的性質和直角三角形的性質，可以說明結論是否成立；
③根據(jù)三角形的全等和平行四邊形的性質可以說明結論是否正確；
④根據(jù)勾股定理、三角形的全等，靈活轉化可以說明結論是否正確．

解答 解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DBE=∠BDE=45°，∠BED=90°，
∴BE=DE，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{2B{E}^{2}}=\sqrt{2}BE$，故①正確；
∵DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，
∴∠BEH=∠DEC=∠DFH=90°，
∴∠DHF+∠HDF=∠HDF+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DHF，
∵∠BHE=∠DHF，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠DCE，
∴∠BAD=∠BHE，故②正確
∵BE=DE，∠BEH=∠DEC=90°，∠BHE=∠DCE，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，故③正確；
作AM⊥CB交CB的延長線于點M，如右圖所示，
∵∠AMB=∠DEC=90°，AB=CD，AAB∥CD，
∴∠ABM=∠DCE，
∴△ABM≌△DCE，
∴BM=CE，

∴AC²+BD²=AM²+（MB+BC）²+（BE²+DE²）=DE²+（CE+BC）²+（BE²+DE²）=BC²+BE²+2BE•CE+3CE²+2DE²，
2（BC²+DC²）=BC²+BC²+2DC²=BC²+（BE+CE）²+2（DE²+CE²）=BC²+BE²+2BE•CE+3CE²+2DE²，
∴$\frac{A{C}^{2}+B{D}^{2}}{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=2，故④正確，
故選D．

點評 本題考查四邊形綜合題，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答問題．