Question

9．在⊙O中，直徑AB=4，弦AC=2$\sqrt{3}$，弦AD=2，求$\widehat{CD}$的度數(shù)．

Answer 1

分析 連接BC、BD，如圖，利用圓周角得到∠ACB=∠ADB=90°，再利用正弦定義分別求出∠ABC=60°，∠ABD=30°，則根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=120°，∠AOD=2∠ABD=60°，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到$\widehat{AC}$的度數(shù)為120°，$\widehat{AD}$的度數(shù)為60°，然后分類討論計(jì)算$\widehat{CD}$的度數(shù)．

解答 解：連接BC、BD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，∴sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴$\widehat{AC}$的度數(shù)為120°；
在Rt△ADB中，∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴$\widehat{AD}$的度數(shù)為60°；
當(dāng)AC和AD在AB的兩旁時(shí)，$\widehat{CD}$的度數(shù)=$\widehat{AC}$的度數(shù)-$\widehat{AD}$的度數(shù)=120°-60°=60°；
當(dāng)AC和AD在AB的同旁時(shí)，$\widehat{CD}$的度數(shù)=$\widehat{AC}$的度數(shù)+$\widehat{AD}$的度數(shù)=120°+60°=180°；
即$\widehat{CD}$的度數(shù)為60°或180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了圓周角定理定理和分類討論的思想．