Question

5．（1）已知⊙O的半徑為5，P為⊙O內(nèi)一點，且OP=3；過點P的弦長是整數(shù)的弦有4條；
（2）如圖⊙O的直徑是10，弦AB=6，P是AB上一動點，則OP的取值范圍是4≤OP≤5．

Answer 1

分析 （1）過點P最長的弦是10，根據(jù)已知條件，可以求出過點P的最短的弦是8，故過點P的弦的長度在8和10之間，所以過點P的弦中長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為4；
（2）因為⊙O的直徑為10，所以半徑為5，則OP的最大值為5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的長，所以，過點O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值為4，所以4≤OP≤5．

解答 解：（1）如圖1所示，
作AB⊥OP于P，
AP=BP，
在Rt△AOP中，OP=3，OA=5，
AP=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AB=8，
故過點P的弦的長度在8和10之間，弦為9的有2條，
∴所有過點P的所有弦中取整數(shù)的有8，9，10．這三個數(shù)，
又∵圓是軸對稱圖形，
∴過點P的弦中長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為4．
故答案為：4；

（2）如圖2，連接OA，作OM⊥AB與M，
∵⊙O的直徑為10，
∴半徑為5，
∴OP的最大值為5，
∵OM⊥AB與M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
OM的長即為OP的最小值，
∴4≤OP≤5．
故答案為：4≤OP≤5．

點評 此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是確定OP的最小值，所以求OP的范圍問題又被轉(zhuǎn)化為求弦的弦心距問題，而解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，利用勾股定理求解．