Question

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常用以下的探索過程解決相關(guān)問題．
數(shù)學(xué)問題：三角形有3個頂點，如果在它的內(nèi)部再畫n個點，并以這（n+3）個點為頂點畫三角形，那么可以剪得多少個這樣的三角形？
探索規(guī)律：為了解決這個問題，我們可以從n=1、n=2、n=3等具體的、簡單的情形入手，探索最多可以剪得的三角形個數(shù)的變化規(guī)律．

三角形內(nèi)點的個數(shù)	圖形	最多剪出的小三解形個數(shù)
1		3
2		5
3		7
4
…	…	…

（1）填表：當(dāng)三角形內(nèi)有4個點時，把表格補充完整；
（2）你發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律是：

 

；
（3）猜想：當(dāng)三角形內(nèi)點的個數(shù)為n時，最多可以剪得

 

個三角形；
像這樣通過對簡單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納．
問題解決：請你嘗試用歸納的方法探索1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？

Answer 1

考點：規(guī)律型：圖形的變化類

專題：

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，進而得出答案；
（2）利用表格中數(shù)據(jù)得出三角形個數(shù)的變化規(guī)律即可；
（3）利用（2）中變化規(guī)律得出當(dāng)三角形內(nèi)點的個數(shù)為n時，最多可以剪得三角形的個數(shù)，進而利用補項法求出答案．

解答：解：（1）當(dāng)三角形內(nèi)有4個點時，把表格補充完整如下：

三角形內(nèi)點的個數(shù)	圖形	最多剪出的小三解形個數(shù)
1		3
2		5
3		7
4		9
…	…	…

（2）∵當(dāng)三角形內(nèi)點的個數(shù)為1時，最多可以剪得3個三角形；
當(dāng)三角形內(nèi)點的個數(shù)為2時，最多可以剪得5個三角形；
當(dāng)三角形內(nèi)點的個數(shù)為3時，最多可以剪得7個三角形；
當(dāng)三角形內(nèi)點的個數(shù)為4時，最多可以剪得9個三角形；
∴變化規(guī)律是：剪出的三角形個數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)；
故答案為：剪出的三角形個數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)；

（3）∵1×2+1=3，2×2+1=5，3×2+1=7，
∴當(dāng)三角形內(nèi)點的個數(shù)為n時，最多可以剪得 2n+1個三角形；
1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）
=

1

2

[1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）][（2n+1）+（2n-1）+…+7+5+3+1]
=

1

2

（n+1）（1+2n+1）
=（n+1）²
=n²+2n+1．

點評：此題主要考查了圖形變化類，根據(jù)題意得出圖形中三角形個數(shù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．