Question

5．如圖，CD是等腰直角△ABC斜邊上的高，E是AC上任意一點(diǎn)，DF⊥DE，交BC于F點(diǎn)．
（1）求證：S_△ACB=$\frac{（AE+BF）^{2}}{2}$；
（2）設(shè)EF交CD于G，比較∠CGF與∠CED的大�。�

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD，利用ASA得到三角形CED與三角形BFD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CE=BF，再由AC=AE+EC=AE+BF，即可得證；
（2）∠CGF=∠CED，理由為：由兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形CED與三角形GDE相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，等量代換即可得證．

解答 （1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDC+∠GDF=∠GDF+∠FDB，即∠EDC=∠FDB，
在△ECD和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠FBD}\\{CD=BD}\\{∠EDC=∠FDB}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△FBD（ASA），
∴CE=BF，
∴AE+BF=AE+EC=AC，
則S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{（AE+BF）^{2}}{2}$；
（2）∠CGF=∠CED，理由為：
證明：∵△ECD≌△FBD，
∴DE=DF，∠CED=∠BFD，
∴△EDF為等腰直角三角形，
∵∠DEF=∠ECD=45°，∠EDC=∠GDE，
∴△EDC∽GDE，
∴∠EGC=∠CED，
∵∠CGF=∠EGC，
∴∠CGF=∠CED．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．