Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第四象限，一條直角邊靠在兩坐標(biāo)軸上，且有點A（0，-2），點C（1，0），拋物線y=ax²-ax+2 經(jīng)過點B．
（1）以AC為直角邊的等腰三角形還能畫3個，請畫出來．
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）求拋物線的解析式；
（4）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的定義，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CD、BD的長，可得B點坐標(biāo)；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（4）根據(jù)線段中點的坐標(biāo)，可得P₁點坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得P₂，P₃點坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)是否滿足函數(shù)解析式，可得答案．

解答 解：（1）以AC為直角邊的等腰三角形還能畫3個，如圖1：

（2）如圖2，作BD⊥OC于D點，

∵等腰直角三角板ABC，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3．
在△AOC和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠AOC=∠CDB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△CDB  （AAS），
∴CD=AO=2，BD=OC=1．
∵D=OD+CD═1+2=3，
∴B點坐標(biāo)為（3，-1）；
（3）將B點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
9a-3a+2=-1，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
（3）如圖3，作P₃D⊥OA于D點，
，
P₁、B關(guān)于C點對稱，
P₁的橫坐標(biāo)為=2×1-3=-1，縱坐標(biāo)為0-（-1）=1，即P₁（-1，1），
當(dāng)x=-1時，y=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×（-1）+2=1，P₁在拋物線上；
∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∠1=∠3．
在△AP₂O和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠1}\\{∠AO{P}_{2}=∠COA}\\{A{P}_{2}=AO}\end{array}\right.$，
∴△AP₂O≌△COA  （AAS），
P₂O=AO=2，
P₂（-2，0），
當(dāng)x=-2時，-$\frac{1}{2}$×（-2）²+$\frac{1}{2}$×（-2）+2=-1，
B₂不在拋物線上；
由△P₃DA≌△P₂OA，得
P₃D=P₂O=2，AD=AC=2，
OD=AD+AO=4，
即P₃（2，-4），
當(dāng)x=2時，-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{1}{2}$×2+2=1，
P₃不在拋物線上；
綜上所述：在拋物線上在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形，P（-1，1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了等腰直角三角形的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)是求B點坐標(biāo)的關(guān)鍵；利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出P點坐標(biāo)，再把P點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式檢驗是解題關(guān)鍵．