Question

15．如圖，拋物線y=-x²+5x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，-4）；該拋物線的開口方向向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2.5，2.5）；對(duì)稱軸直線是x=2.5．
（3）P為坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式即可；
（2）利用函數(shù)解析式求得與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)，該拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及對(duì)稱軸直線即可；
（3）分兩種情況：A為等腰三角形的頂點(diǎn)，B為等腰三角形的頂點(diǎn)，結(jié)合性質(zhì)求得答案即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+5x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）．
∴-1+5+c=0，
C=-4；
∴拋物線解析式為y=-x²+5x-4；
（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，-4）；
該拋物線的開口方向向下；
頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2.5，2.25）；
對(duì)稱軸直線是x=2.5．
（3）在拋物線y=-x²+5x-4中，當(dāng)y=0時(shí)，
得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0）又∵B（0，-4），OA⊥OB，
∴$AB=\sqrt{17}$，
∴①以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓，
分別交坐標(biāo)軸于P₁、P₂、P₃三點(diǎn)（如圖）．

∴P₁（$\sqrt{17}+1$，O）；
P₂（0，4）
P₃（$1-\sqrt{17}$，0）
②以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑畫圓，
分別交坐標(biāo)軸于P₄、P₅、P₆三點(diǎn)（如圖）．
∴P₄（-1，O）；
P₅（0，$-4-\sqrt{17}$）
P₆（0，$\sqrt{17}-4$）
總之存在符合條件的點(diǎn)P，共有六點(diǎn)：P₁（$\sqrt{17}+1$，O）； P₂（0，4）；P₃（$1-\sqrt{17}$，0）；P₄（-1，O）；P₅（0，$-4-\sqrt{17}$）； P₆（0，$\sqrt{17}-4$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．