Question

4．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在DB的延長線上，連接EC．過點(diǎn)D作DM⊥EC，垂足為M，DM與AC相交于點(diǎn)F，連接EF．求證：
EF∥BC．

Answer 1

分析 證明Rt△OEC≌Rt△ODF，可得OE=OF，∠OEF=45°，則∠OBC=∠OEF，所以EF∥BC．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC=OD，OB⊥OC，
∴∠OBC=45°，
在△DEM中，∵DM⊥EC，
∴∠DEM+∠EDM=90°，
在△DOF中，∵DO⊥OF，
∴∠DFO+∠EDM=90°，
∴∠DEM=∠DFO，
在Rt△OEC和Rt△ODF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠DFO}\\{∠EOC=∠DOF=90°}\\{OD=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEC≌Rt△ODF（AAS），
∴OE=OF，
∴∠OEF=45°，
∵∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠OEF，
∴EF∥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的判定、平行線的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)和三角形的判定是關(guān)鍵．