Question

16．已知：如圖，直線a∥b，直線c與直線a、b分別相交于C、D兩點(diǎn)，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合）．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有：∠CPD=∠PCA+∠PDB，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠PCA、∠PDB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠PCA、∠PDB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需直接給出結(jié)論）？

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作a的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解；
（2）過(guò)點(diǎn)P作b的平行線PE，由平行線的性質(zhì)可得出a∥b∥PE，由此即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥a，則∠1=∠CPE．
∵a∥b，PE∥a，
∴PE∥b，
∴∠2=∠DPE，
∴∠3=∠1+∠2，
即∠CPD=∠PCA+∠PDB；

（2）∠CPD=∠PCA-∠PDB．
理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥b，則∠2=∠EPD，
∵直線a∥b，
∴a∥PE，
∴∠1=∠EPC，
∵∠3=∠EPC-∠EPD，
∴∠3=∠1-∠2，
即∠CPD=∠PCA-∠PDB；

（3）∠CPD=∠PDB-∠PCA．
證明：如圖3，設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F，
∵∠PFA是△PCF的外角，
∴∠PFA=∠1+∠3，
∵a∥b，
∴∠2=∠PFA，
∴∠2=∠1+∠3，
∴∠3=∠2-∠1，
即∠CPD=∠PDB-∠PCA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出平行線，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行推導(dǎo)是解答此題的關(guān)鍵．