Question

7．如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點(diǎn)A與邊DC上的動(dòng)點(diǎn)P重合（P不與點(diǎn)D、C重合），MN為折痕，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AD上，連結(jié)AP、MP、AM，AP與MN相交于點(diǎn)F．
（1）試判斷AF×AD與AN×AP是否相等？并說明理由；
（2）如圖2，過點(diǎn)M、C、P作⊙O，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，若⊙O與AM相切與點(diǎn)M時(shí)，⊙O又與AD相切于點(diǎn)H．當(dāng)AB=2$\sqrt{3}$時(shí)，求⊙O的直徑MP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先證明△FAN∽△DAP，由相似三角形的性質(zhì)可知：$\frac{AF}{AD}=\frac{AN}{AP}$，然后由P不與重合，P在邊DC上，可得到AD≠AP，故此判斷出AF×AD與AN×AP的關(guān)系；
（2）如圖1所示：連接OH，并延長(zhǎng)HO交MC于點(diǎn)G．先證明△ABM≌△MCP，由全等三角形的性質(zhì)可求得AB=MC=2$\sqrt{3}$，接下來證明四邊形CDHG為矩形，從而可求得GC=HD，然后再依據(jù)垂徑定理求得HD=$\sqrt{3}$，由切割線定理可求得PD的長(zhǎng)，最后在△MCP中依據(jù)勾股定理可求得PM的長(zhǎng)．

解答 解：（1）AF×AD與AN×AP不相等．
理由：∵點(diǎn)P，點(diǎn)A關(guān)于MN對(duì)稱，
∴MN⊥AP．
∴∠AFN=∠D=90°．
又∵∠FAN=∠DAP，
∴△FAN∽△DAP．
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AN}{AP}$．
∵P不與重合，P在邊DC上，
∴AD≠AP，即$\frac{AD}{AP}≠\frac{AP}{AD}$．
∴$\frac{AF}{AN}≠\frac{AP}{AD}$，即AF×AD≠AN×AP．
（2）如圖1所示：連接OH，并延長(zhǎng)HO交MC于點(diǎn)G．

由翻折的性質(zhì)可知AM=MP．
∵AM為⊙O的切線，
∴OM⊥AM．
∴∠CMP+∠BMA=90°．
又∵∠BAM+∠BMA=90°，
∴∠CMP=∠BAM．
在△ABM和△MCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BAM=∠PMC}\\{AM=MP}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△MCP．
∴AB=MC=2$\sqrt{3}$．
∵DH為⊙O的切線，
∴OH⊥AD．
∴∠GHD=∠D=∠C=90°．
∴四邊形CDHG為矩形．
∴HD=GC，OG⊥MC．
∴GC=$\frac{1}{2}$MC=$\sqrt{3}$．
∴HD=$\sqrt{3}$．
由切割線定理可知；HD²=DP•CD，即2$\sqrt{3}$PD=3，解得PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴CP=2$\sqrt{3}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△MCP中，PM=$\sqrt{M{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴⊙O的直徑MP的長(zhǎng)為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)和判定、翻折的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及切割線定理、勾股定理、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，證得△ABM≌△MCP，然后依據(jù)垂徑定理和矩形的性質(zhì)求得HD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．