Question

如圖所示的△ABC是從工廠中大量存放的鐵板余料，小明測得∠C=90°，∠A的平分線分對邊BC所得的兩條線段分別為BD=5，DC=3，現(xiàn)要最大限度地利用這塊余料截出一個圓形鐵板．
（1）使用直尺和圓規(guī)確定圓形鐵板的圓心O；
（2）求圓O的最大半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：應(yīng)用題

分析：（1）根據(jù)內(nèi)心的定義作∠ACB的角平分線，兩角平分線的交點(diǎn)即為圓形鐵板的圓心O；
（2）先根據(jù)角平分線定理得

AB

AC

=

BD

CD

=

5

3

，設(shè)AB=5a，則AC=3a，根據(jù)勾股定理得BC=4a，則4a=8，解得a=2，所以AB=10，AC=6，然后利用直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內(nèi)切圓半徑為

a+b-c

2

求△ABC的內(nèi)切圓的半徑．

解答：解：（1）作∠ACB的角平分線交BD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為鐵板的內(nèi)切圓的圓心，如圖；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴

AB

AC

=

BD

CD

=

5

3

，
設(shè)AB=5a，則AC=3a，
在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=4a，
而BC=BD+CD=8，
∴4a=8，解得a=2，
∴AB=10，AC=6，
∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑=

6+8-10

2

=2，
即圓O的最大半徑為2．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了勾股定理的逆定理．記住直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內(nèi)切圓半徑為

a+b-c

2

．