Question

如圖，矩形ABCD，AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，垂足為E，交AD于F，求證：AC²=AF•AD．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：連接CD，由圓周角定理可得∠ADC=∠ABC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ACE=∠ABC，故可得出∠ADC=∠ACE，所以△ACF∽△ADC，故可得出結(jié)論．

解答：證明：連接CD，
∵∠ADC與∠ABC是同弧所對的圓周角，
∴∠ADC=∠ABC．
∵AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，
∴∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠CAB∠ABC=90°，∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠ADC=∠ACE，
∴△ACF∽△ADC，
∴

AC

AD

=

AF

AC

，即AC²=AF•AD．

點評：本題主要考查了圓周角定理和相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．通過構(gòu)建與所求相關(guān)的相等角是解題的關(guān)鍵．