Question

19．已知，如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC的中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB邊上一點(diǎn)，⊙O過B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若GD=2，GB=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定定理推出即可；
（2）連接OG，作OF⊥BD于F，根據(jù)切割線定理求出ED=2$\sqrt{3}$，設(shè)⊙O 的半徑為R，根據(jù)勾股定理求得半徑為4，從而求得∠OBG=∠EOG=60°，然后根據(jù)S_陰影=S_扇形EOG+S_△BOG-S_△OBE即可求得．

解答 （1）證明：連接OE，
∵AB=BC且D是AC中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE為⊙O半徑，
∴AC與⊙O相切．

（2）解：連接OG，作OF⊥BD于F，
∵GD=2，GB=4，
∴BD=6，
∵DE²=DG•DB，
∴DE=2$\sqrt{3}$，
∵OE⊥AC，BD⊥AC，
∴四邊形OEDF是矩形，
∴OF=ED=2$\sqrt{3}$，DF=OE，
設(shè)半徑為R，
∴BF=6-R，
在RT△OBF中，OB²=OF²+BF²，
∴R=（2$\sqrt{3}$）²+（6-R）²，
解得R=4，
∴OB=OG=OE=4，
∵BG=4，
∴△OBG是等邊三角形，
∴∠OBG=60°，
∵OE∥BD，
∴∠EOG=60°，
∴△EOG是等邊三角形，
∴四邊形EOBG是菱形，
∴S_△BOG=S_△OBE，
∴S_陰影=S_扇形EOG+S_△BOG-S_△OBE=S_扇形EOG=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是求出OE∥BD，解（2）小題的關(guān)鍵是證得等邊三角形和菱形．