Question

9．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，如圖①，若∠C=90°，根據(jù)勾股定理，可得a²+b²+c²．如圖②、③，若△ABC不是直角三角形，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 如圖②中，△ABC是銳角三角形，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，根據(jù)AD不變由勾股定理得出等式b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，化簡即可；如圖③中，△ABC是鈍角三角形，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D．設(shè)CD為x，根據(jù)勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，化簡即可．

解答 解：若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²；若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²，理由如下：
當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖②，
過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，則有BD=a-x，
根據(jù)勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，即b²-x²=c²-a²+2ax-x²，
∴a²+b²=c²+2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a²+b²＞c²；
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖③，
過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D，
設(shè)CD為x，則有BD²=a²-x²，
根據(jù)勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，即a²+b²+2bx=c²，
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a²+b²＜c²．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．