Question

7．如圖，在射線BA，BC，AD，CD圍成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6$\sqrt{3}$，O是射線BD上一點(diǎn)，⊙O與BA，BC都相切，與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．過M作EF⊥BD交線段BA（或射線AD）于點(diǎn)E，交線段BC（或射線CD）于點(diǎn)F．以EF為邊作矩形EFGH，點(diǎn)G，H分別在圍成菱形的另外兩條射線上．
（1）求證：BO=2OM．
（2）設(shè)EF＞HE，當(dāng)矩形EFGH的面積為24$\sqrt{3}$時(shí)，求⊙O的半徑．
（3）當(dāng)HE或HG與⊙O相切時(shí)，求出所有滿足條件的BO的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90°．先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù)，然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長(zhǎng)，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)．在Rt△BEM中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長(zhǎng)（用含r的式子表示），由圖形的對(duì)稱性可得到EF、ND、BM的長(zhǎng)（用含r的式子表示，從而得到MN=18-6r，接下來(lái)依據(jù)矩形的面積列方程求解即可；當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí)．BM=3r，則MD=18-3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；
（3）先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時(shí)，可求得DM=$\sqrt{3}$r，BM=3r，然后依據(jù)BM+MD=18，列方程求解即可；②如圖5所示；依據(jù)圖形的對(duì)稱性可知得到OB=$\frac{1}{2}$BD；③如圖6所示，可證明D與O重合，從而可求得OB的長(zhǎng)；④如圖7所示：先求得DM=$\sqrt{3}$r，OMB=3r，由BM-DM=DB列方程求解即可．

解答 解：（1）如圖1所示：設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，則∠OPB=90°．

∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∴OB=2OP．
∵OP=OM，
∴BO=2OP=2OM．
（2）如圖2所示：設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴BD=2BQ=2AB•cos∠ABQ=$\sqrt{3}$AB=18．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．
∵EF＞HE，
∴點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H均在菱形的邊上．
①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)．
在Rt△BEM中，EM=BM•tan∠EBM=$\sqrt{3}$r．
由對(duì)稱性得：EF=2EM=2$\sqrt{3}$r，ND=BM=3r．
∴MN=18-6r．
∴S_矩形EFGH=EF•MN=2$\sqrt{3}$r（18-6r）=24$\sqrt{3}$．
解得：r₁=1，r₂=2．
當(dāng)r=1時(shí)，EF＜HE，
∴r=1時(shí)，不合題意舍
當(dāng)r=2時(shí)，EF＞HE，
∴⊙O的半徑為2．
∴BM=3r=6．
如圖3所示：

當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí)．BM=3r，則MD=18-3r．
由對(duì)稱性可知：NB=MD=6．
∴MB=3r=18-6=12．
解得：r=4．
綜上所述，⊙O的半徑為2或4．
（3）解設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，⊙O的半徑為r，則BO=2r．
當(dāng)點(diǎn)E在邊BA上時(shí)，顯然不存在HE或HG與⊙O相切．
①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時(shí)．

∵HE與⊙O相切，
∴ME=r，DM=$\sqrt{3}$r．
∴3r+$\sqrt{3}$r=18．
解得：r=9-3$\sqrt{3}$．
∴OB=18-6$\sqrt{3}$．
②如圖5所示；

由圖形的對(duì)稱性得：ON=OM，BN=DM．
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=9．
③如圖6所示．

∵HG與⊙O相切時(shí)，MN=2r．
∵BN+MN=BM=3r．
∴BN=r．
∴DM=$\sqrt{3}$FM=$\sqrt{3}$GN=BN=r．
∴D與O重合．
∴BO=BD=18．
④如圖7所示：

∵HE與⊙O相切，
∴EM=r，DM=$\sqrt{3}$r．
∴3r-$\sqrt{3}$r=18．
∴r=9+3$\sqrt{3}$．
∴OB=2r=18+6$\sqrt{3}$．
綜上所述，當(dāng)HE或GH與⊙O相切時(shí)，OB的長(zhǎng)為18-6$\sqrt{3}$或9或18或18+6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用、矩形的面積公式，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．