Question

10．我校運動會需購買A、B兩種獎品．若購買A種獎品3件和B種獎品2件，共需60元；若購買A種獎品5件和B種獎品3件，共需95元．
（1）求A、B兩種獎品單價各是多少元？
（2）學校計劃購買A、B兩種獎品共100件，購買費用不超過1150元，且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍．設購買A種獎品m件，購買費用為W元，寫出W（元）與m（件）之間的函數關系式并確定花費最少的購買方案．

Answer 1

分析 （1）設A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，根據題意列出關于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結論；
（2）根據花費=購買單價×購買數量，可以得出W關于m的函數解析式，由已知給定的條件可列出關于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出m的取值范圍，結合函數的單調性即可得出結論．

解答 解：（1）設A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，根據題意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=60}\\{5x+3y=95}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=15}\end{array}\right.$．
答：A種獎品的單價為10元，B種獎品的單價為15元．
（2）購買A種獎品m件，則購買B種獎品100-m件，
根據題意可知：W=10m+15（100-m）=1500-5m，
且m滿足$\left\{\begin{array}{l}{m≤3（100-m）}\\{1500-5m≤1150}\end{array}\right.$，即70≤x≤75．
由于W（元）關于m（件）之間的函數單調遞減，
故當m=75時，W最小，且此時W=1125，100-75=25（件）．
答：W（元）與m（件）之間的函數關系式為W=1500-5m（70≤x≤75），當A種獎品購買75件，B種獎品購買25件時，花費最少，最少費用為1125元．

點評 本題考查了一次函數的應用、解二元一次方程組以及解一元一次不等式組，解題的關鍵：（1）找出關于A、B兩種獎品單價的二元一次方程組；（2）由花費=購買單價×購買數量找出W關于m的函數關系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該類題型需要了解題中各數量之間的關系，以及能結合一次函數的性質求出最值．