Question

7．如圖，四邊形ABCD為菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BA延長線上一點(diǎn)，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點(diǎn)，AD分別于EF，GF交于I，H兩點(diǎn)．
（1）試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)G為線段DC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：四邊形FACD是平行四邊形．只要證明AD∥AC，CD∥AF即可．
（2）連接GE，由△EFG∽△CDE，推出$\frac{EF}{CD}$=$\frac{EG}{EC}$，求出EF，即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：四邊形FACD是平行四邊形．
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，CD∥AB，
∴∠AEB=90°，
∵EF是直徑，
∴∠FDE=∠AEB=90°，
∴AD∥AC，∵CD∥AF，
∴四邊形FACD是平行四邊形．

（2）如圖，連接EG．
∵EF是直徑，
∴∠EGF=90°，
四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠EGF=∠DEC=90°，
∵∠EFG=∠EDC，
∴△EFG∽△CDE，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{EG}{EC}$，
∵DG=GC，
∴GE=DG=GC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴$\frac{EF}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m}$，
∴EF=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2m}$，
∴⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比=π（$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4m}$）²÷2mn=$\frac{π（{m}^{2}+{n}^{2}）}{32{m}^{3}n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形頂點(diǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．