Question

15．已知：△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC=5；求：
①求k的取值范圍；
②k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

Answer 1

分析 ①根據(jù)根的判別式的意義得出△=[-（2k+3）]²-4（k²+3k+2）=1＞0，由此求出k的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；
②由根與系數(shù)的關(guān)系得出AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，根據(jù)勾股定理得出AB²+AC²=BC²=25，利用完全平方公式得出（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，整理得k²+3k-10=0，解方程即可．

解答 解：①∵△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=[-（2k+3）]²-4（k²+3k+2）=1＞0，
∴k的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；

②∵AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
又AB²+AC²=BC²=25，
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
∴k²+3k-10=0，
∴k=-5或2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式以及勾股定理，完全平方公式．