Question

15．如圖1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度分別沿折線(xiàn)B→A→C、射線(xiàn)BC運(yùn)動(dòng)，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ=x，△BPQ與△ABC重疊部分的面積為S．如圖2是S關(guān)于x的函數(shù)圖象（其中0≤x≤8，8＜x≤m，m＜x≤16時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．
（1）填空：m的值為8$\sqrt{3}$；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出△PCQ為等腰三角形時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出BC的長(zhǎng)即可．
（2）分三種情形①0≤m≤8，②8＜x≤8$\sqrt{3}$，③8$\sqrt{3}$＜x≤16，分別求出△APQ面積即可．
（3）分三種情形討論①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，△PQC不可能為等腰三角形．②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，根據(jù)PQ=QC列出方程即可③當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)，根據(jù)CP=CQ列出方程即可．

解答 解：（1）如圖1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分別為M，N．
由題意AB=AC=8，∠A=120°，
∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=4，BM=CM=4$\sqrt{3}$，
∴BC=8$\sqrt{3}$，
∴m=BC=8$\sqrt{3}$，
故答案為8$\sqrt{3}$．
（2）①當(dāng)0≤m≤8時(shí)，如圖1中，
在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x，
∴PN=$\frac{1}{2}$x．
s=$\frac{1}{2}$•BQ•PN=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{1}{2}$•x=$\frac{1}{4}$x²．
②當(dāng)8＜x≤8$\sqrt{3}$，如圖2中，
在RT△PBN中，∵PC=16-x，∠PNC=90°，∠C=30°，
∴PN=$\frac{1}{2}$PC=8-$\frac{1}{2}$x，
∴s=$\frac{1}{2}$•BQ•PN=$\frac{1}{2}$•x•（8-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{1}{4}$x²+4x．
③當(dāng)8$\sqrt{3}$＜x≤16時(shí)，
s=$\frac{1}{2}$•8$\sqrt{3}$•（8-$\frac{1}{2}$•x）=-2$\sqrt{3}$x+32$\sqrt{3}$．
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，△PQC不可能是等腰三角形．
②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQ=QC，
∵PC=$\sqrt{3}$QC，
∴16-x=$\sqrt{3}$（8$\sqrt{3}$-x），
∴x=4$\sqrt{3}$+4．
③當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，PC=CQ，
即16-x=x-8$\sqrt{3}$，
∴x=8+4$\sqrt{3}$．
∴△PCQ為等腰三角形時(shí)x的值為4$\sqrt{3}$+4或8+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想，屬于中考�？碱}型．