Question

1．如圖，平面直角坐標(biāo)系的單位是厘米，直線AB的解析式為y=$\sqrt{3}$x-6$\sqrt{3}$分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)C沿射線BA以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)C為圓心作半徑為1厘米的⊙C．點(diǎn)P以2厘米/秒的速度在線段OA上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0），過(guò)點(diǎn)P作直線l垂直于x軸．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B，點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求直線l與⊙C第二次相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，直線l與⊙C相交時(shí)t的范圍是0≤t＜2或$\frac{22}{7}$＜t＜$\frac{26}{7}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線方程分別令x，y值為零，即可得出B，A坐標(biāo)．
（2）先求出第二次相切的時(shí)間，繼而求得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）分析可得直線與圓共相切3次，分別算出三次相切時(shí)間，即可求得答案．

解答 解：（1）由直線方程，令x=0，得y=-6$\sqrt{3}$，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6$\sqrt{3}$）；
令y=0，得x=6，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．

（2）如圖1，直線l與⊙C第2次相切時(shí)，
根據(jù)題意得：12-2t=3t•cos60°+1，
解得：t=$\frac{22}{7}$，
則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：3×$\frac{22}{7}$×cos60°+1=$\frac{40}{7}$，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為：0，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{40}{7}$，0）；

（3）第一次相切時(shí)，則2t-3t×cos60°=1，
解得t=2，
第二次相切時(shí)，由（2）得：t=$\frac{22}{7}$，
第二次相切時(shí)，12-2t=3t•cos60°-1，
解得：t=$\frac{26}{7}$，
故在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線l與⊙C相交時(shí)t的范圍是：0≤t＜2或$\frac{22}{7}$＜t＜$\frac{26}{7}$．
故答案為：0≤t＜2或$\frac{22}{7}$＜t＜$\frac{26}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系以及三角函數(shù)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．