Question

18．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①∠EBG=45°；  ②AB：DE=AG：DF；
③S_△ABG=$\frac{3}{2}$S_△FGH；  ④AG+DF=FG．其中正確的是①③④．（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 利用折疊性質(zhì)得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，則可得到∠EBG=$\frac{1}{2}$∠ABC，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；在Rt△ABF中利用勾股定理計(jì)算出AF=8，則DF=AD-AF=2，設(shè)AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x²+4²=（8-x）²，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷；接著證明△ABF∽△DFE，利用相似比得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AF}{AB}$，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；分別計(jì)算S_△ABG和S_△GHF可對(duì)③進(jìn)行判斷．

解答 解：∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，
將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=$\frac{1}{2}$∠CBF+$\frac{1}{2}$∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，所以①正確；
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
設(shè)AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在Rt△GFH中，∵GH²+HF²=GF²，
∴x²+4²=（8-x）²，解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以④正確；
∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AG}{DE}$，
所以②錯(cuò)誤．
∵S_△ABG=$\frac{1}{2}$×6×3=9，S_△GHF=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_△ABG=1.5S_△FGH．所以③正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要利用相似比計(jì)算線段的長．也考查了折疊和矩形的性質(zhì)．