Question

12．已知直線y=$\frac{-（n+1）}{n+2}$x+$\frac{1}{n+2}$（n為正整數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S_n，則 S₁+S₂+S₃+…S_n=$\frac{n}{4（n+2）}$．

Answer 1

分析 令x=0，y=0分別求出與y軸、x軸的交點(diǎn)，然后利用三角形面積公式列式表示出S_n，再利用拆項(xiàng)法整理求解即可．

解答 解：∵直線AB的解析式為：y=-$\frac{n+1}{n+2}$x+$\frac{1}{n+2}$，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{n+2}$，
令y=0，則-$\frac{n+1}{n+2}$x+$\frac{1}{n+2}$=0，
解得x=$\frac{1}{n+1}$，
所以，S_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
所以，S₁+S₂+S₃+…+S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{n}{2（n+2）}$=$\frac{n}{4（n+2）}$．
故答案為：$\frac{n}{4（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，表示出S_n，再利用拆項(xiàng)法寫成兩個(gè)數(shù)的差是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．