Question

3．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于點B，點A（a，b）滿足$\sqrt{a-4}$+|b-2|=0，平移線段AB使點A與原點重合，點B的對應(yīng)點為點C．
（1）則a=4，b=2；點C坐標(biāo)為（0，-2）；
（2）如圖1，點D（m，n）在線段BC上，求m、n滿足的關(guān)系式；
（3）如圖2，E是線段OB上一動點，以O(shè)B為邊作∠BOG=∠AOB，交BC于點G，連CE交OG于點F，當(dāng)點E在線段OB上運動過程中，$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$的值是否會發(fā)生變化？若變化請說明理由，若不變，請求出其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\sqrt{a-4}$+|b-2|=0，可得a-4=0，b-2=0，據(jù)此可得a=4，b=2，再根據(jù)AB=OC=2，且C在y軸負(fù)半軸上，可得C（0，-2）；
（2）過點D分別作DM⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，連接OD，根據(jù)S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB×OC=4，且S_△BOC=S_△BOD+S_△COD=$\frac{1}{2}$OB×MD+$\frac{1}{2}$OC×ND=$\frac{1}{2}$×4×（-n）+$\frac{1}{2}$×m×2=m-2n，可得m、n滿足的關(guān)系式；
（3）過點E，F(xiàn)作EP∥OA，F(xiàn)Q∥OA分別交y軸于點P，點Q，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠OEC=∠OEP+∠PEC=∠AOE+∠GCF，以及∠OFC=2∠AOE+∠GCF，進(jìn)而得到$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$的值為2．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-4}$+|b-2|=0，
∴a-4=0，b-2=0，
∴a=4，b=2，
∵AB=OC=2，且C在y軸負(fù)半軸上，
∴C（0，-2），
故答案為：4，2，（0，-2）；

（2）如圖1，過點D分別作DM⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，連接OD．
∵AB⊥x軸于點B，且點A，D，C三點的坐標(biāo)分別為：（4，2），（m，n），（0，-2），
∴OB=4，OC=2，MD=-n，ND=m，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB×OC=4，
又∵S_△BOC=S_△BOD+S_△COD
=$\frac{1}{2}$OB×MD+$\frac{1}{2}$OC×ND
=$\frac{1}{2}$×4×（-n）+$\frac{1}{2}$×m×2
=m-2n，
∴m、n滿足的關(guān)系式為：m-2n=4；

（3）$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$的值不變，值為2．理由如下：
方法1：∵線段OC是由線段AB平移得到，
∴BC∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
又∵∠BOG=∠AOB，
∴∠BOG=∠OBC，
根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得∠OGC=2∠OBC，∠OFC=∠FCG+∠OGC，
∴∠OFC+∠FCG=2∠FCG+2∠OBC
=2（∠FCG+∠OBC）
=2∠OEC，
∴$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}$=$\frac{2∠OEC}{∠OEC}$=2；

方法2：如圖2，分別過點E，F(xiàn)作EP∥OA，F(xiàn)Q∥OA分別交y軸于點P，點Q，
∵線段OC是由線段AB平移得到，
∴BC∥OA，
又∵EP∥OA，
∴EP∥BC，
∴∠GCF=∠PEC，
∵EP∥OA，
∴∠AOE=∠OEP，
∴∠OEC=∠OEP+∠PEC=∠AOE+∠GCF，①
同理：∠OFC=∠AOF+∠GCF，
又∵∠AOB=∠BOG，
∴∠OFC=2∠AOE+∠GCF，②
根據(jù)①，②可得：
$\frac{∠OFC+∠FCG}{∠OEC}=\frac{∠OFC+∠FCG}{∠AOE+∠FCG}$=$\frac{2∠AOE+2∠FCG}{∠AOE+∠FCG}$=2．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了非負(fù)數(shù)，坐標(biāo)與圖形，平行線的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，運用面積法，角的和差關(guān)系以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解．