Question

2．如圖，點(diǎn)B（3，3）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，點(diǎn)D在雙曲線y=$\frac{4}{x}$（x＜0）上，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在x軸，y軸的正半軸上，DM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，且點(diǎn)A、B、C、D構(gòu)成的四邊形為正方形．
（1）k的值為9；
（2）求證：△ADM≌△BAN；
（3）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B（3，3）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0），求出k的值即可；
（2）由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到AD=AB，且∠DAB為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用AAS即可得證；
（3）由△ADM≌△BAN得到DM=AN，AM=BN，根據(jù)B的坐標(biāo)得到ON=BN=3，設(shè)A（a，0），即OA=a，由ON-OA表示出AN，即為DM，為D的縱坐標(biāo)，代入反比例解析式表示出橫坐標(biāo)，確定出OM，由OM+OA表示出AM，根據(jù)AM=BN=3求出a的值，即可確定出A坐標(biāo)．

解答 （1）解：∵點(diǎn)B（3，3）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=3×3=9．
故答案為：9；

（2）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠DAM+∠BAN=90°，
∵∠MDA+∠DAM=90°，
∴∠MDA=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AMD=∠BNA=90°\\∠MAD=∠BAN\\ AD=BA\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAN（AAS）；

（3）解：∵△ADM≌△BAN，
∴AN=DM，BN=AM，
設(shè)A（a，0），即OA=a，
∵B（3，3），
∴BN=ON=3，
∴DM=AN=ON-OA=3-a，
把y=3-a代入y=-$\frac{4}{x}$得：x=-$\frac{4}{3-a}$，即OM=$\frac{4}{3-a}$，
∴BN=AM=OM+OA=$\frac{4}{3-a}$+a=3，
解得：a=1或a=5（不合題意，舍去），
∴A（1，0）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．