Question

16．如圖，點(diǎn)P在直線y=x-1上，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線交拋物線y=x²于A、B兩點(diǎn)，且PA=AB，則稱點(diǎn)P為“優(yōu)點(diǎn)”，下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A． 直線y=x-1上的所有點(diǎn)都是“優(yōu)點(diǎn)”
• B． 直線y=x-1上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“優(yōu)點(diǎn)”
• C． 直線y=x-1上的所有點(diǎn)都不是“優(yōu)點(diǎn)”
• D． 直線y=x-1上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“優(yōu)點(diǎn)”

Answer 1

分析 設(shè)A（m，n），P（x，x-1），根據(jù)PA=AB可找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)A、B在拋物線y=x²上結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出m、n之間的關(guān)系，消去n后可得出關(guān)于x的方程，利用根的判別式即可得出直線y=x-1上的所有點(diǎn)都是“優(yōu)點(diǎn)”．

解答 解：設(shè)A（m，n），P（x，x-1），則B（2m-x，2n-x+1），
∵A，B在y=x²上，
∴n=m²，2n-x+1=（2m-x）²，
消去n，整理得關(guān)于x的方程：x²-（4m-1）x+2m²-1=0①，
∵△=（4m-1）²-4（2m²-1）=8m²-8m+5＞0恒成立，
∴方程（1）恒有實(shí)數(shù)解，
∵P點(diǎn)的隨意性，
∴直線y=x-1上的所有點(diǎn)都是“優(yōu)點(diǎn)”．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：利用拋物線上的點(diǎn)滿足拋物線解析式，可判斷點(diǎn)是否在拋物線上或確定點(diǎn)的坐標(biāo)．