Question

6．如圖，△ABC中，∠C=45°，AC=2$\sqrt{2}$，D為BC上一點，且AD=6，BD=3$\sqrt{2}$，則△ABC的周長為4$\sqrt{19}$+8$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 過點A作AE⊥BC，垂足為E，先求出AE和CE的長，再利用勾股定理求出DE和AB的長，進而求出△ABC的周長．

解答 解：過點A作AE⊥BC，垂足為E，
∵∠C=45°，AC=2$\sqrt{2}$，
∴AE=CE=2，
在△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵BD=3$\sqrt{2}$，
∴BE=BD+DE=6$\sqrt{2}$，
在△AEB中，
AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{72+4}$=4$\sqrt{19}$，
∴△ABC的周長為AB+BC+AC=4$\sqrt{19}$+6$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{19}$+8$\sqrt{2}$+2，
故答案為4$\sqrt{19}$+8$\sqrt{2}$+2

點評 本題主要考查了勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是過點A作△ABC的高，此題難度不大．