Question

4．如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是1．

Answer 1

分析 先延長EP交BC于點(diǎn)F，得出PF⊥BC，再判定四邊形CDEP為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$ab，最后根據(jù)a²+b²=4，判斷$\frac{1}{2}$ab的最大值即可．

解答 解：延長EP交BC于點(diǎn)F，
∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=150°，
∴∠CPF=180°-150°=30°，
∴PF平分∠BPC，
又∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
設(shè)Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則
CF=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$b，a²+b²=2²=4，
∵△APE和△ABD都是等邊三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS），
∴EP=AP=CD，
∴四邊形CDEP是平行四邊形，
∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$ab，
又∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，
∴2ab≤a²+b²=4，
∴$\frac{1}{2}$ab≤1，
即四邊形PCDE面積的最大值為1．
故答案為：1

點(diǎn)評 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線．