Question

4．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)M、N，過(guò)點(diǎn)A作PO的垂線AB，垂足為C，變⊙O于點(diǎn)B，延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)D，連接AD、BM．
（1）等式OD²=OC•OP成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若AD=6，tan∠M=$\frac{1}{2}$，求sin∠D的值．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由切線的性質(zhì)得出∠OAP=∠ACO=90°，證出△OAC∽△OPA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論；
（2）連接BN，由三角函數(shù)得出$\frac{BN}{BM}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)BN=x，BM=2x，由勾股定理得出MN=$\sqrt{B{N}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，由三角形面積得出BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，得出AB=2BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程求出BD、AB的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）等式OD²=OC•OP成立；理由如下
連接OA，如圖1所示：
∵PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作PO的垂線AB，垂足為C，
∴∠OAP=∠ACO=90°，
∵∠AOC=∠POA，
∴△OAC∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OC}{OA}$，
即OA²=OC•OP
∵OD=OA，
∴OD²=OC•OP；
（2）連接BN，如圖2所示：
則∠MBN=90°．
∵tan∠M=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BN}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)BN=x，BM=2x，
則由勾股定理，得
MN=$\sqrt{B{N}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$BM•BN=$\frac{1}{2}$MN•BC，
∴BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
又∵AB⊥MN，
∴AB=2BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
∴Rt△ABD中，BD=MN=$\sqrt{5}$x，
AD²+AB²=BD²，
∴6²+（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x）²=（$\sqrt{5}$x）²，
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10，AB=8，
∴sin∠D=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握切線的性質(zhì)，證明三角形相似和運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．