Question

15．如圖，已知在正方形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)在AD邊上，且BE=DF，EF與AC交于點(diǎn)O．求證：△OEC為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 連接AE、CF，先由SAS證明△ABE≌△CDF，得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，再證明△AEC≌△FCE，得出∠ACE=∠FEC=45°，OE=OC，因此∠EOC=90°，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接AE、CF，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠AEB=90°，∠ECF=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠ABE=∠CDF=90°}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEB=∠ECF，
在△AEC和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠AEB=∠ECF}&{\;}\\{EC=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△FCE（SAS），
∴∠ACE=∠FEC=45°，
∴OE=OC，∠EOC=90°，
∴△OEC為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．