Question

3．已知拋物線y=a（x+3）（x-1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=-$\sqrt{3}$x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．
（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE．一動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒$\frac{2\sqrt{3}}{3}$個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動過程中所用時(shí)間最少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AD的解析式，接著求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式確定a的值；
（2）由于沒有明確說明相似三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)，因此需要分情況討論：①△ABC∽△BAP；②△ABC∽△PAB；
（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可．

解答 解：（1）∵y=a（x+3）（x-1），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為（1，0），
∵直線y=-$\sqrt{3}$x+b經(jīng)過點(diǎn)A，
∴b=-3$\sqrt{3}$，
∴y=-$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-5$\sqrt{3}$，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-5$\sqrt{3}$），
∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴a（2+3）（2-1）=-5$\sqrt{3}$，
解得，a=-$\sqrt{3}$，
則拋物線的解析式為y=-$\sqrt{3}$（x+3）（x-1）=-$\sqrt{3}$x²-2$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；

（2）如圖1中，作PH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)（m，n），

當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí)，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即$\frac{OC}{OA}$=$\frac{PH}{HB}$，
∴$\frac{-3a}{3}$=$\frac{-n}{-m+1}$，即n=-a（m-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=-a（m-1）}\\{n=a（m+3）（m-1）}\end{array}\right.$解得m=-4或1（舍棄），
當(dāng)m=-4時(shí)，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{PB}$，
∴AB²=AC•PB，
∴4²=$\sqrt{9{a}^{2}+9}$$•\sqrt{25{a}^{2}+25}$，
解得a=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$或$\frac{\sqrt{15}}{15}$（舍棄），
則n=5a=-$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-4，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）．
當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí)，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即$\frac{OC}{OB}$=$\frac{PH}{HB}$，
∴$\frac{-3a}{1}$=$\frac{-n}{-m+1}$，
∴n=-3a（m-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=-3a（m-1）}\\{n=a（m+3）（m-1）}\end{array}\right.$，
解得m=-6或1（舍棄），
當(dāng)m=-6時(shí)，n=21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{AB}{PB}$，即AB²=BC•PB，
∴4²=$\sqrt{1+9{a}^{2}}$•$\sqrt{{7}^{2}+（-21a）^{2}}$，
解得a=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$或$\frac{\sqrt{7}}{7}$（不合題意舍棄），
則點(diǎn)P坐標(biāo)（-6，-3$\sqrt{7}$），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（-4，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）和（-6，-3$\sqrt{7}$）．
（3）如圖2中，作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，
則tan∠DAN=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{5\sqrt{3}}{5}$=$\sqrt{3}$，

∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE=$\frac{EF}{sin∠EDF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$EF，
∴Q的運(yùn)動時(shí)間t=$\frac{BE}{1}$+$\frac{DE}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=BE+EF，
∴當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小，
則BE⊥DM，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)（1，-4$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查的是二次函數(shù)知識的綜合運(yùn)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的交點(diǎn)式、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分情況討論討論，屬于中考壓軸題．