Question

18．已知：如圖正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB和BC上的點(diǎn)，且滿足BE=CF．
（1）不用圓規(guī)，請只用不帶刻度的直尺作圖：在邊CD和DA上分別作出點(diǎn)G和點(diǎn)H，使DG=AH=BE=CF（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的何處時，能使S_{四邊形EFGH}：S_{四邊形ABCD}=5：8，并說明理由．
（3）如圖：正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)A′、B′、C′、D′、E′、F′分別是邊AB、BC、CD、DE、EF、FA上的點(diǎn)，且AA′=BB′=CC′=DD′=EE′=FF′．
①設(shè)AA′：A′B=1：3，則S_{六邊形A′B′C′D′E′F′}：S_{六邊形ABCDEF}=13：16
②設(shè)AA′：A′B=k，求S_{六邊形A′B′C′D′E′F′}：S_{六邊形ABCDEF}的值（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形是中心對稱圖形作圖即可；
（2）設(shè)BE=CF=x，根據(jù)勾股定理表示出EF，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；
（3）①作B′H⊥AB交AB的延長線于H，設(shè)AA′=a，根據(jù)題意表示出A′B，利用三角函數(shù)的定義表示出B′H和BH，根據(jù)勾股定理求出A′B′，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)計算即可；
②設(shè)AA′=k，利用①的思路進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）如圖1所示：DG=AH=BE=CF；
（2）設(shè)BE=CF=x，BC=y，則BF=y-x，
由勾股定理得，EF²=BE²+BF²=x²+（y-x）²=2x²-2xy+y²，
∵S_{四邊形EFGH}：S_{四邊形ABCD}=5：8，
∴（2x²-2xy+y²）：（y²）=5：8，
則2（$\frac{x}{y}$）²-2×$\frac{x}{y}$+$\frac{3}{8}$=0，
解得，$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)BE=$\frac{1}{4}$AB或BE=$\frac{3}{4}$AB時，S_{四邊形EFGH}：S_{四邊形ABCD}=5：8；
（3）①如圖3，作B′H⊥AB交AB的延長線于H，
設(shè)AA′=a，則A′B=3a，AB=4a，B′B=a，
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠ABC=120°，
∴∠B′BH=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$a，B′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴A′B′=$\sqrt{A′{H}^{2}+B′{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$a，
∴$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴S_{六邊形A′B′C′D′E′F′}：S_{六邊形ABCDEF}=13：16，
故答案為：13：16；
②∵AA′：A′B=k，
∴設(shè)AA′=k，則A′B=1，
則BH=$\frac{1}{2}$k，B′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，
∴A′B′=$\sqrt{A′{H}^{2}+B′{H}^{2}}$=$\sqrt{1+k+{k}^{2}}$，
AB=1+k，
∴S_{六邊形A′B′C′D′E′F′}：S_{六邊形ABCDEF}=（$\frac{A′B′}{AB}$）²=$\frac{1+k+{k}^{2}}{1+2k+{k}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查的是正方形和正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形是中心對稱圖形、正確求出正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．