Question

5．如圖，在△ABC中，AC=BC，在△ABC外部取一點D，連接AD，BD，CD，且DC平分∠ADB，求證：∠ACB+∠ADB=180°．

Answer 1

分析 如圖作CE⊥AD于E，CF⊥DB于F．由Rt△CEA≌Rt△CFB，推出∠ACE=∠CFB，推出ACB=∠ECF，在四邊形ECFD中，∠EDF+∠ECF=360°-∠CED-∠CFD=180°，可得∠ACB+∠ADB=180°．

解答 證明：如圖作CE⊥AD于E，CF⊥DB于F．
∵CD平分∠ADB，CE⊥AD于E，CF⊥DB于F，
∴CE=CF，∠CEA=∠CFB=90°，
在Rt△CEA和Rt△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CEA≌Rt△CFB，
∴∠ACE=∠CFB，
∴∠ACB=∠ECF，
在四邊形ECFD中，∠EDF+∠ECF=360°-∠CED-∠CFD=180°，
∴∠ACB+∠ADB=180°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理四邊形內角和定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．