Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，已知AB=2，C，D是⊙O的上的兩點，且$\widehat{BC}$+$\widehat{BD}$=$\frac{2}{3}$$\widehat{AB}$，M是AB上一點，則MC+MD的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過D作DD′⊥AB于H交⊙O于D′，根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{BD}$=$\widehat{D′B}$，于是得到∠COD′=120°，連接CD′交AB于M，則CD′=MC+MD的最小值，過O作ON⊥CD′于N，得到CD′=2NC，∠C=30°，解直角三角形得到CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：過D作DD′⊥AB于H交⊙O于D′，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{D′B}$，
∵$\widehat{BC}$+$\widehat{BD}$=$\frac{2}{3}$$\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BC}$+$\widehat{BD′}$=$\frac{2}{3}$$\widehat{AB}$，
∴∠COD′=120°，
連接CD′交AB于M，
則CD′=MC+MD的最小值，
過O作ON⊥CD′于N，
∵OC=OD′，
∴CD′=2NC，∠C=30°，
∵OC=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CD′=$\sqrt{3}$，
∴MC+MD的最小值是$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及軸對稱-最短線路問題，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．