Question

9．如圖，△ABC中，BC=AC=4，∠ACB=120°，點(diǎn)E是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與A，C不重合），ED∥BC，求S_△CED的最大值．

Answer 1

分析 過(guò)D作DF⊥AC交AC或AC的延長(zhǎng)線于F，過(guò)B作BH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠CBH=30°，于是得到BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，設(shè)AE=x，由于△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{AC}=\frac{DF}{BH}$，于是得到DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：過(guò)D作DF⊥AC交AC或AC的延長(zhǎng)線于F，過(guò)B作BH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于H，
∵BC=AC=4，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=∠CBH=30°，
∴BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
設(shè)AE=x，
∵ED∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DF}{BH}$，
即$\frac{x}{4}=\frac{DF}{2\sqrt{3}}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵CE=AC-AE=4-x，
∴S_△CED=$\frac{1}{2}$CE•DF=$\frac{1}{2}$×$（4-x）•\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴S_△CED=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_△CED的最大值=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)的最值，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．