Question

14．已知，在△ABC中，BC=48cm，高AD=16cm，它的內接矩形MNPQ的一邊NP落在BC邊上，M，Q分別落在AB，AC上，又矩形MNPQ的兩鄰邊之比為5：9，求此矩形的周長．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質得到MQ∥BC，推出△AMQ∽△ABC，設MQ=5x，MN=9x，則AH=AD-HD=16-9x，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{MQ}{BC}=\frac{AH}{AD}$，于是求得MQ=$\frac{15}{2}$，MN=$\frac{27}{2}$，求出矩形的周長=2（MQ+MN）=42（cm），當MQ=9x，MN=5x，則AH=AD-HD=16-5x，求得MQ=18，MN=10于是得到矩形的周長=2（MQ+MN）=56（cm），

解答 解：∵矩形MNPQ，
∴MQ∥BC，
∴△AMQ∽△ABC，
設MQ=5x，MN=9x，則AH=AD-HD=16-9x，
∴$\frac{MQ}{BC}=\frac{AH}{AD}$，
∴$\frac{5x}{48}=\frac{16-9x}{16}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴MQ=$\frac{15}{2}$，MN=$\frac{27}{2}$，
∴矩形的周長=2（MQ+MN）=42（cm），
當MQ=9x，MN=5x，則AH=AD-HD=16-5x，
∴$\frac{9x}{48}=\frac{16-5x}{16}$，
解得：x=2，
∴MQ=18，MN=10
∴矩形的周長=2（MQ+MN）=56（cm），
綜上所述：矩形的周長為：42（cm）或56（cm）．

點評 本題主要考查了勾股定理、矩形的性質及直角三角形的性質，熟練運用矩形的性質，及作出直角三角形斜邊上的高，是解答本題的關鍵．