Question

1．如圖，AB為圓O的直徑，C，D為圓上兩點，$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$+$\widehat{BC}$，連AC、BD相交于M，AB=4，CM=$\sqrt{2}$，求AM的長．

Answer 1

分析 連接BC，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB=90°，根據(jù)已知條件得到∠DBC=∠D+∠DCM，根據(jù)外角的性質得到∠CMB=∠DCM+∠D，等量代換得到∠CMB=∠CBM，由等腰三角形的性質得到BC=CM=$\sqrt{2}$，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：連接BC，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$+$\widehat{BC}$，
∴∠DBC=∠D+∠DCM，
∵∠CMB=∠DCM+∠D，
∴∠CMB=∠CBM，
∴BC=CM=$\sqrt{2}$，
∴AC²+CB²=AB²，
即：（AM+$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=4²，
解得：AM=$\sqrt{14}$-$\sqrt{2}$，（負值舍去）．

點評 本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．