Question

13．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c的對(duì)稱軸是y軸，點(diǎn)D，P在拋物線上，A（0，2），D（0，1），PC⊥x軸于點(diǎn)C，CB∥AP，交x軸于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCP是什么特殊的四邊形？證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)（2）中的四邊形ABCP是正方形時(shí)，△DQP周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出△DQP周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對(duì)稱軸方程可求得b的值，然后把D（0，1）代入y=$\frac{1}{4}$x²+c可求得c的值，從而可求得拋物線的解析式；
（2）先依據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABCP是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，$\frac{1}{4}$m²+1），則PC=$\frac{1}{4}$m²+1．然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得PA的長(zhǎng)，從而得到PC=PA，故此可判斷出四邊形ABCP的形狀；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′．連接PD′交x軸與點(diǎn)Q．由四邊形APCB為正方形可知PA∥x軸，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合．于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求得直線D′P的解析式，從而可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后由拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)Q′的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是y軸，
∴b=0．
把D（0，1）代入y=$\frac{1}{4}$x²+c得c=1． 
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1．
（2）四邊形ABCP是菱形．
∵PC⊥x軸，AB⊥x軸，
∴PC∥AB．
又∵CB∥AP，
∴四邊形ABCP是平行四邊形．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，$\frac{1}{4}$m²+1），則PC=$\frac{1}{4}$m²+1．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，則
∴PA²=PE²+AE²=|m|²+|（$\frac{1}{4}$m²+1）-2|²=$\frac{1}{16}$m⁴+$\frac{1}{2}$m²+1=（$\frac{1}{4}$m²+1）²．
∴PA=$\frac{1}{4}$m²+1．
∴PC=PA．
∴平行四邊形ABCP是菱形．
（3）如圖所示：作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′．連接PD′交x軸與點(diǎn)Q．

∵四邊形APCB為正方形，
∴∠APC=∠PCB=90°．
∴點(diǎn)PA∥x軸，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合．
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2．
將y=2代入y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1得：$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1=2，
解得：x=±2．
∴點(diǎn)P（2，2）、P′（-2，2）．
∵點(diǎn)D′與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴DQ=D′Q，D′（-1，0）．
∴當(dāng)點(diǎn)D′、Q、P在一條直線上時(shí)，PQ+QD有最小值．
又∵DP的長(zhǎng)度不變，
∴當(dāng)點(diǎn)D′、Q、P在一條直線上時(shí)，△PDQ的周長(zhǎng)最小．
設(shè)直線PD′的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)P、D′的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{3}{2}$，b=-1，
∴直線PD′的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-1．
將y=0代入得；$\frac{3}{2}$x-1=0，解得：x=$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）．
∵點(diǎn)Q′關(guān)于點(diǎn)Q對(duì)稱，
∴Q′（-$\frac{2}{3}$，0）．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）或Q′（-$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱路徑最短問(wèn)題、平行四邊形的判定、菱形的判定，明確當(dāng)點(diǎn)D′、Q、P在一條直線上時(shí)，△PDQ的周長(zhǎng)最小時(shí)解題的關(guān)鍵．