Question

如圖，已知等邊△ABC中，AE=CD且AF=

1

2

BF，求證：BF⊥CF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：證明題

分析：取BF的中點，由條件構造△ABE≌△CAD，進一步證明△ABM≌△CAF，從而得出∠CFD=30°，∠BFD=60°，可證得結論．

解答：
證明：
取BF中點M，連接AM，∴BM=FM=FA，
∵AB=AC，
∴∠BAC=∠ACD，
在△ABE和△CAD中

AB=AC ∠BAC=∠ACD AE=CD

∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠BFD=60°，
∴∠AMF=∠MAF=30°，∠AMB=150°，
在△ABM和△CAF中

BM=AF ∠ABE=∠CAF AB=AC

∴△ABM≌△CAF（SAS），
∴∠AFC=∠AMB=150°，
∴∠CFD=30°，∠BFD=60°
∴∠BFC=90°，
∴BF⊥CF．

點評：本題主要考查三角形全等的判定和性質及等邊三角形的性質運用，借助條件構造三角形全等是解題的關鍵．