Question

如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=BC，它的外角∠EAC的平分線交⊙O于D點(diǎn)，DB交AC于F．
（1）求證：△DAB≌△DFC；
（2）若cos∠BAC=

2

3

，求

DA

DB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),完全平方公式,完全平方式,等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）易證BD=CD和∠DAB=∠DFC，即可證明△DAB≌△DFC，即可解題；
（2）根據(jù)余弦定理可以求得BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC和AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，根據(jù)AB=BC，可以求得

2

3

BD²=AD²+BD²-

4

3

AD•BD，因式分解即可求得AD，BD的大小關(guān)系，即可解題．

解答：（1）證明：∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DAB+∠DCB=180°，
∴∠DAE=∠DCB，
∴∠DAE=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴BD=CD，
∵AB=BC，
∴∠ADB=∠FDC，
∵∠DAB=∠DAC+∠BAC，∠DFC=∠DBC+∠BCA，∠BCA=∠BAC，
∴∠DAB=∠DFC，
在△DAB和△DFC中，

∠DAB=∠DFC ∠ADB=∠FDC BD=CD

，
∴△DAB≌△DFC（AAS）；
（2）解：∵∠BAC=∠BDC，∠ADB=∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC，
∵在△BDC中有BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∴整理得：BC²=

2

3

BD²，
∵△ADB中，AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，
∴整理得：AB²=AD²+BD²-

4

3

AD•BD，
∵AB=BC，
∴

2

3

BD²=AD²+BD²-

4

3

AD•BD，
整理得：3AD²+BD²-4AD•BD=0，
因式分解：（BD-3AD）（BD-AD）=0，
∵DA≠DB，
∴BD=3AD，
∴

DA

DB

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△DAB≌△DFC是解題的關(guān)鍵．