Question

17．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 可在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AE=AC，得出△ACP≌△AEP，從而將四條不同的線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解，即可得出結(jié)論．

解答 解：PB+PC＞AB+AC．
如圖，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AE=AC，連接EP，
由AD是∠BAC的外角平分線，可知∠CAP=∠EAP，
又AP是公共邊，AE=AC，
在△ACP與△AEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAP=∠CAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
從而有PC=PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，
而B(niǎo)E=AB+AE=AB+AC，
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系的問(wèn)題，做出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．