Question

6．記2016²的所有正約數(shù)為d₁，d₂，…，d_m，則$\frac{1}{fvfnvbl_{1}+2016}$+$\frac{1}{dfpvvlz_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{nj11ljx_{m}+2016}$=$\frac{165}{4032}$．

Answer 1

分析 先針對于2²的3個(gè)正約數(shù)，對于3²的3個(gè)正約數(shù)，對于4²的5個(gè)正約數(shù)，對于5²的3個(gè)正約數(shù)，對于6²的9個(gè)正約數(shù)分別計(jì)算，找出n²的正約數(shù)的個(gè)數(shù)的規(guī)律（如果n²分解質(zhì)因數(shù)為a^e×b^f×c^h，那么正約數(shù)的個(gè)數(shù)為（e+1）（f+1）（h+1），和所求結(jié)論的規(guī)律則$\frac{1}{pzb1bhd_{1}+n}$+$\frac{1}{fnlnvdp_{2}+n}$+$\frac{1}{fftp1pn_{3}+n}$+…+$\frac{1}{hthhx3n_{m}+n}$=$\frac{m}{2n}$，規(guī)律，即可得出結(jié)論．

解答 解：對于2²的（2+1）=3個(gè)正約數(shù)1，2，2²，有$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{2+2}$+$\frac{1}{{2}^{2}+2}$=$\frac{3}{4}$；
對于3²的（2+1）=3個(gè)正約數(shù)1，3，3²，有$\frac{1}{1+3}$+$\frac{1}{3+3}$+$\frac{1}{{3}^{2}+3}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{6}$；
對于4²=2⁴的（4+1）-5個(gè)正約數(shù)1，2，2²，2³，2⁴，有$\frac{1}{1+4}$+$\frac{1}{2+4}$+$\frac{1}{{2}^{2}+4}$+$\frac{1}{{2}^{3}+4}$+$\frac{1}{{2}^{4}+4}$=$\frac{5}{8}$．
對于5²的（2+1）=3個(gè)正約數(shù)1，5，5²，有$\frac{1}{1+5}$+$\frac{1}{5+5}$+$\frac{1}{{5}^{2}+5}$=$\frac{3}{10}$，
對于6²=2²×3²的（2+1）（2+1）=9個(gè)正約數(shù)1，2，2²，3，3²，2×3，2²×3，2×3²，2²×3²，
有$\frac{1}{1+6}$+$\frac{1}{2+6}$+$\frac{1}{{2}^{2}+6}$+$\frac{1}{3+6}$+$\frac{1}{{3}^{2}+6}$+$\frac{1}{2×3+6}$+$\frac{1}{{2}^{2}×3+6}$+$\frac{1}{2×{3}^{2}+6}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{3}^{2}+6}$=$\frac{9}{12}$，
…
…
即：若n²的所有正約數(shù)為d₁，d₂，d₃，d₄，…，d_m，則$\frac{1}{pt1zrn7_{1}+n}$+$\frac{1}{rbpx1pd_{2}+n}$+$\frac{1}{l1hdddh_{3}+n}$+…+$\frac{1}{jxvdfpp_{m}+n}$=$\frac{m}{2n}$
∵2016²=2¹⁰×3⁴×7²
∴m=（10+1）（4+1）（2+1）=m=165，
∴當(dāng)n=2016時(shí)，$\frac{1}{pr1ljvf_{1}+2016}$+$\frac{1}{p7pbbzl_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{1xnthl7_{m}+2016}$=$\frac{165}{2×2016}$=$\frac{165}{4032}$，
故答案為$\frac{165}{4032}$．

點(diǎn)評 此題是約數(shù)與倍數(shù)，主要考查了一個(gè)正整數(shù)的平方的正約數(shù)的確定，以及正約數(shù)的個(gè)數(shù)的確定，找出規(guī)律是解本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．是一道比較難度比較大的規(guī)律題．