Question

13．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點P是⊙O上不與A，B重合的一個動點，延長PA到C，使AC=AP，點D為⊙O上一點，且滿足AD∥PB，射線CD交PB延長線于點E．
（1）求證：△PAB≌△ACD；
（2）填空：
①若AB=6，則四邊形ABED的最大面積為18；
②若射線CD與⊙O的另一個交點為F，則當∠PAB的度數(shù)為30°或60°時，以O(shè)，A，D，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形．

Answer 1

分析 （1）連接BD，先判斷出四邊形ADBP矩形，得出AD=PB，再用SAS得出△PAB≌△ACD；
（2）①先判斷出四邊形ADEB是平行四邊形，而AB是定值，要四邊形ADEB面積最大，只有點D到AB的距離最大，最大為圓的半徑，最后根據(jù)三角形面積公式計算即可；
②要使四邊形OADF是菱形，即OA=AD，得出三角形AOD是等邊三角形，即∠OAD=60°即可．

解答 解：（1）如圖1，連接，BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=∠ADB=90°，
∵AD∥PB，
∴∠CAD=∠APB=90°，
∴∠PAD=90°
∴∠APB=∠ADB=∠PAD=90°，
∴四邊形ADBP是矩形，
∴AD=PB，
在△PAB≌和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{AC=AP}\\{∠CAD=∠APB}\\{AD=PB}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△ACD，
（2）①由（1）知，AD=PB
∵AD∥PB，AC=AP，
∴AD=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$（PB+BE），
∴PB=EB，
∴AD=BE，
∵AD∥PB，
∴四邊形ADEB是平行四邊形，
∵AB是⊙O的直徑，不變，
∴直線CD和⊙O相切時，即：點D到直徑AB的等于半徑時，四邊形ABED的最大，
∵AB=6
∴S_{四邊形ABED的最大}=AB×$\frac{1}{2}$AB=18，
故答案為18；
②Ⅰ、如圖1，由①知，四邊形ADEB是平行四邊形，
∴OA∥DF，
∵以O(shè)，A，D，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形，
∴OA=AD=DF，
∴∠BAD=60°，
∵∠PAD=90°，
∴∠PAB=30°，
Ⅱ、如圖2，連接OD，OF，
由①知，四邊形ADEB是平行四邊形，
∴OA∥DF，
∵以O(shè)，A，D，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形，
∴∠ODA=∠FDA，OD=OF=DF，
∴∠ODC=60°，
∴∠OAD=∠ODA=$\frac{1}{2}$∠ODC=30°，
∵AB∥BC，
∴∠ABP=∠OAD=30°，
∴∠PAB=90°-∠ABP=60°
同理：∠PAB=60°，
故答案為30°或60°．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出四邊形ADBP是矩形，難點是四邊形ADEB的面積最大時AB邊上的高是圓的半徑．