Question

8．兩個反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$和y=$\frac{1}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點B，當(dāng)點P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上運動時，以下結(jié)論：
①△ODB與△OCA的面積相等；
②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；
③PA與PB始終相等；
④當(dāng)點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．
其中一定正確的結(jié)論有哪幾個？對正確的結(jié)論要說明理由！

Answer 1

分析 利用反比例函數(shù)中k的幾何意義，無論如何變化，只要知道過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是個恒等值即易解題．

解答 解：由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義判斷各結(jié)論：
①△ODB與△OCA的面積相等；正確，由于A、B在同一反比例函數(shù)圖象上，則兩三角形面積相等，都為$\frac{1}{2}$；
②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；正確，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；
③PA與PB始終相等；錯誤，不一定，只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時滿足PA=PB；
④連接OP，點A是PC的中點，
則△OAP和△OAC的面積相等，
∵△ODP的面積=△OCP的面積=$\frac{1}{2}$，△ODB與△OCA的面積相等，
∴△OBP與△OAP的面積相等，
∴△OBD和△OBP面積相等，
∴點B一定是PD的中點．
故一定正確的是①②④．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)�？疾榈囊粋�知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．