Question

4．如圖，B，D是反比例函數(shù)圖象上兩點，過B，D作x軸垂線，垂足分別為A，C，連接OD交AB于點E，若∠BOA=60°，OD是∠BOA的平分線，四邊形ACDE的面積為$\sqrt{2}$．試寫出反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的解析式y=$\frac{3\sqrt{2}}{x}$．

Answer 1

分析 根據(jù)反比例系數(shù)的幾何意義知S_△BOE=S_{四邊形ACDE}=$\sqrt{2}$，設(shè)B坐標為（x，$\frac{k}{x}$），由AB=OA•tan∠BOA知k=$\sqrt{3}$x²，根據(jù)S_△BOE=S_△AOB-S_△AOE列出關(guān)于x的方程得x²，從而得知k的值．

解答 解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$（k＞0），
∵S_△AOB=S_△COD=$\frac{1}{2}$k，即S_△AOE+S_△BOE=S_△AOE+S_{四邊形ACDE}，
∴S_△BOE=S_{四邊形ACDE}=$\sqrt{2}$，
設(shè)點B坐標為（x，$\frac{k}{x}$），
則OA=x，AB=$\frac{k}{x}$，
∵∠BOA=60°，OD平分∠BOA，
∴∠EOA=30°，AB=OA•tan∠BOA=$\sqrt{3}$x，
∴$\sqrt{3}x=\frac{k}{x}$，即k=$\sqrt{3}$x²，
AE=OA•tan∠EOA=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∵S_△BOE=S_△AOB-S_△AOE，
∴$\frac{1}{2}$•x•$\sqrt{3}$x-$\frac{1}{2}$•x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\sqrt{2}$，
得：x²=$\sqrt{6}$，
則k=$\sqrt{3}$x²=3$\sqrt{2}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{3\sqrt{2}}{x}$．
故答案為：y=$\frac{3\sqrt{2}}{x}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵要熟記系數(shù)k與三角形的面積的關(guān)系．