Question

9．如圖已知，四邊形ABCD是正方形，點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上，PD=PG，DF⊥PG于點H，交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連接EF．
求證：四邊形PEFD是菱形．

Answer 1

分析 作PM⊥AG垂足為M，先證明四邊形DCPM是矩形，再證明△ADF≌△MPG得DF=PG=PD=PE，由DF∥PE，DF=PD，得到四邊形PEFD是平行四邊形，再由PE=PD得出結論．

解答 證明：作PM⊥AG垂足為M，
∵DH⊥GP，
∴∠PMG=∠DHG=90°，
∵∠MPG+∠G=90°，∠G+∠HDG=90°
∴∠HDG=∠MPG，
∵∠ADF=∠HDH，
∴∠ADF=MPG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB=BC，∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠MDC=∠PMD=∠DCP=90°，
∴四邊形DCPM是矩形，
∴CD=PM，
在△ADF和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠PMG}\\{AD=PM}\\{∠ADF=∠MPG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MPG，
∴DF=PG=PE，
∵EP⊥PG，FH⊥PG，
∴FH∥PE，
∵DF=PE，DF∥PE，
∴四邊形PEFD是平行四邊形，
∵PD=PG=PE，
∴四邊形PEFD是菱形．

點評 本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．