Question

19．如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，對角線AC，BD交于O點，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交于BC，AD于點E，F(xiàn)．
（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不可能，請說明理由；如果可能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出EF∥AB根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OA=CO，AD∥BC，求出∠FAO=∠ECO，根據(jù)ASA推出△AFO≌△CEO，即可得出答案；
（3）可以成菱形，當(dāng)EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，根據(jù)菱形的判定得出即可；求出∠AOB=45°，即可得出答案．

解答 （1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，
∵∠BAC=90°，
∴EF∥AB
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=CO，AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AFO和△CEO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴AF=CE；

（3）解：可以成菱形，當(dāng)EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，
理由是：∵由（2）知：△AFO≌△CEO，
∴OE=OF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形；
∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∵在Rt△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，由勾股定理得：AC=2，
∴AO=CO=1=AB，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠FOB=90°，
∴∠FOA=90°-45°=45°，
∴此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的角度是45°．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的判定的應(yīng)用，能綜合運用知識點進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．