Question

17．如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF．以下結(jié)論：
①AD∥BC；
②∠ABD=∠ADB；
③∠ADC=90°-∠ABD；
④BD平分∠ADC；
其中正確的結(jié)論有①②③（填所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線定義得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項．

解答 解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正確；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，∴②正確；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EAC，∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACF，
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EAC+∠ACF）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）
=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，∴③正確；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④錯誤；
故答案為：①②③．

點評 本題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線定義，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，有一定的難度．