Question

19．如圖，直線y=-x+m交x軸于點A、交y軸于點B，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第一象限交于C、D兩點，若AC•BC=6，則k=3．

Answer 1

分析 過C作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，令直線方程中x=0，求出y的值，即為點B的縱坐標(biāo)，得出OB的長，令y=0求出x的值，即為A的橫坐標(biāo)，確定出OA的長，由FC與OA平行，利用平行線得比例列出比例式，根據(jù)OA=OB，得出CF=FB，設(shè)C的坐標(biāo)為（a，b），可得出FC=BF=a，在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理得：BC²=BF²+CF²=2a²，在Rt△CEA中，根據(jù)勾股定理得：AC²=CE²+AE²=b²+（m-a）²，再把C的坐標(biāo)代入直線方程，表示出m-a=b，即為AE的長，代入AC的平方，整理后開方求出AC•BC的值，代入已知AC•BC=6中，求出ab的值，又C在反比例函數(shù)圖象上，可得出k=ab，由ab的值可得出k的值．

解答 解：過C分別作x軸和y軸的垂線，E，F(xiàn)分別為垂足，如圖，
對于y=-x+m，令x=0，y=m；令y=0，x=m，
∴B（0，m），A（m，0），即OA=m，Om=m，
∵CF∥OA，
∴BF：OB=CF：OA，又OA=OB，
∴CF=BF，
設(shè)C（a，b），a＞0，b＞0，則BF=a，CF=a，
∴在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理得：BC²=BF²+CF²=2a²，
在Rt△CEA中，CE=b，AE=OA-OE=OA-FC=m-a，
根據(jù)勾股定理得：AC²=CE²+AE²=b²+（m-a）²，
而C點在直線y=-x+m上，
∴b=-a+m，即m-a=b，
∴AC²=b²+b²=2b²，
又AC•BC=6，且a＞0，b＞0，
∴2b²•2a²=36，即a•b=3，
∵點B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=a•b=3．
故答案為：3．

點評 此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：平行線的性質(zhì)，勾股定理，代數(shù)式的變形，線段長度與坐標(biāo)的關(guān)系，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，其中作出輔助線BE、BF是本題的突破點．