Question

3．閱讀理解：
我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形，如圖1，一個(gè)矩形發(fā)生變形后成為一個(gè)平行四邊形，設(shè)這個(gè)平行四邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角中較小的一個(gè)內(nèi)角為α，我們把$\frac{1}{sinα}$的值叫做這個(gè)平行四邊形的變形度．
（1）若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是120度，則這個(gè)平行四邊形的變形度是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
猜想證明：
（2）設(shè)矩形的面積為S₁，其變形后的平行四邊形面積為S₂，試猜想S₁，S₂，$\frac{1}{sinα}$之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
拓展探究：
（3）如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，且AB²=AE•AD，這個(gè)矩形發(fā)生變形后為平行四邊形A₁B₁C₁D₁，E₁為E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接B₁E₁，B₁D₁，若矩形ABCD的面積為4$\sqrt{m}$（m＞0），平行四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為2$\sqrt{m}$（m＞0），試求∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到α=60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，根據(jù)平行四邊形和矩形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）由已知條件得到△B₁A₁E₁∽△D₁A₁B₁，由相似三角形的性質(zhì)得到∠A₁B₁E₁=∠A₁D₁B₁，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A₁E₁B₁=∠C₁B₁E₁，求得∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁=∠C₁E₁B₁+∠A₁B₁E₁=∠A₁B₁C₁，證得∠A₁B₁C₁=30°，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是120度，
∴α=60°，
∴$\frac{1}{sinα}$=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）$\frac{1}{sinα}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，
理由：如圖1，設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，∴S₁=ab，S₂=ah，sinα=$\frac{h}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{ab}{ah}$=$\frac{h}$，∵$\frac{1}{sinα}$=$\frac{h}$，∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{sinα}$；

（3）∵AB²=AE•AD，
∴A₁B₁²=A₁E₁•A₁D₁，即$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}{E}_{1}}{{A}_{1}{B}_{1}}$，
∵∠B₁A₁E₁=∠D₁A₁B₁，
∴△B₁A₁E₁∽△D₁A₁B₁，
∴∠A₁B₁E₁=∠A₁D₁B₁，
∵A₁D₁∥B₁C₁，
∴∠A₁E₁B₁=∠C₁B₁E₁，
∴∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁=∠C₁B₁E₁+∠A₁B₁E₁=∠A₁B₁C₁，
由（2）知$\frac{1}{sinα}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$可知$\frac{1}{sin∠{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{m}}{2\sqrt{m}}$=2，
∴sin∠A₁B₁C₁=$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁B₁C₁=30°，
∴∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．