Question

3．如圖①A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．
（1）圖①中有3對全等三角形，并把它們寫出來
（2）求證：BG=DG，EG=FG；
（3）若將△ABF的邊AF沿GA方向移動變?yōu)閳D②時，其余條件不變，第（2）題中的結論是否成立，如果成立，請予證明．

Answer 1

分析 （1）利用A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD可判斷全等三角形的個數(shù)．
（2）先根據(jù)DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CDE，再求證△DEG≌△BFG，即可．
（3）先根據(jù)DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CED，再求證△BFG≌△DEG，即可得出結論．

解答 解：（1）圖①中有3對全等三角形，它們是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD．
理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD和∠FGB是對頂角，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
∵∠AGB=∠CGD，
∴△AGB≌△CGD；
故答案為：3

（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD和∠FGB是對頂角，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
（3）第（2）題中的結論成立，
理由：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴BF=ED．
∵∠BFG=∠DEG=90°，
∴BF∥ED，
∴∠FBG=∠EDG，
∴△BFG≌△DEG，
∴FG=GE，BG=GD，
即第（2）題中的結論仍然成立．

點評 此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質的理解和掌握，此題難度并不大，但是需要證明多次全等，步驟繁瑣，是一道綜合性較強的中檔題．